CALCULATEUR

CORRESPONDANCE ENTRE DIAMETRE ET SECTION D'ACIER

PRINCIPE

L'ELU doit permettre de garantir la limite de stabilité du matériau en situation exceptionnelle. En limite de rupture les matériaux se plastifient. La déformation engendrée ne doit pas dépasser la limite de rupture du matériaux.

La flexion simple produit une rotation de la poutre selon un rayon très grand. Sur la hauteur de la section d'une poutre cela comprime une partie des fibres du matériau et tend l'autre partie.
Le béton n'ayant pas une résistance satisfaisante en traction, les aciers vont reprendre les efforts de traction. L'idéal d'un point de vu de l'économie des matériaux serait atteint lorsque le béton et l'acier sont tous les deux à leur limite de déformation plastique.

La maîtrise d'un grand nombre de facteurs peut permettre d'atteindre cette optimisation. En pratique l'équilibre ultime est souvent recherché lorsque la déformation de l'acier se situe dans sa plage plastique alors que le béton atteint la limite de sa plage de déformation plastique.

Cette étude est orientée dans cette perspective. Ainsi, la question se limite à rechercher une section d'acier qui travaille en plasticité pour un béton qui est en limite de rupture pour garantir l'équilibre ultime du matériau béton armé.

CONDITIONS LIMITES DU BETON ET DE L'ACIER

Les matériaux sont en limite de rupture. A ce stade, ils sont plastifiés. Le béton peut atteindre sa limite ductile, c'est à dire sa déformation maximale, ecu2 sous sa contraite plastique fcd. L'acier peut atteindre sa limite ductile sous sa contrainte maximale, pour le modèle théorique1, es, fyd.

MODELE DE CALCUL POUR POUTRE RECTANGULAIRE

Le calcul est illustré par le modèle de répartition des contraintes rectangulaire pour le béton (de résistance maximale limitée à 50MPa) et le modèle linéaire pour le niveau de contrainte dans l'acier

DEFINITION DES HYPOTHESES

Les paramètres géométriques et les limites de comportement des matériaux sont déterminés (x, position de la fibre neutre). Selon l'étude de flexion simple, il apparait 5 possibilités de variables indépendantes. Les trois conditions d'équilibre du matériau sont vérifiées si 3 facteurs sont laissés variables et les deux autres figés.

Souvent, en pratique, La position de la fibre neutre est laissée à l'ajustement, donc comme variable. La section de béton est souvent fixée. De fait, sa section est utilisée au mieux pour optimiser le travail du béton. Le comportement du béton est alors fixé à son maximum. Il reste alors comme variable la section d'acier et la déformation d'acier limitée à son maximum. cette déformation est variable avec comme limite la ductilité de l'acier. Pour obtenir un matériau bien utilisé économiquement, l'acier ne doit pas travailler dans sa plage élastique, il doit se plastifier.

EXPRESSION DES TROIS CONDITIONS

Sous l'effet du moment fléchissant, la section se déforme autour de la fibre neutre en restant droite fig.1, les contraintes de compression se répartissent dans le bétons et les contraintes de traction dans les barres d'acier fig.2, la répartition et l'intensité de ces contraintes sont modélisés par le modèle rectangulaire et le niveau de contrainte dans l'acier par le modèle linéaire fig.3, le modèle rectangulaire permet d'intégrer très facilement dans le calcul un niveau de contrainte constante qui se répartie sur toute la surface définie en fig.4, Les forces correspondantes peuvent alors être exprimées en vu de développer le calcul des conditions d'équilibre de la section et définir la surface d'acier, Ast fig.5

RELATION ENTRE CONDITIONS AUX LIMITES

Puisque la section se déforme en restant droite et que la hauteur x de la fibre neutre a été déterminée, il est possible de déterminer es, la déformation de la section au niveau de l'acier. En effet les règles de proportionnalité des triangles semblables (Thalès) permettent d'écrire la relation: es/(d-x)=ecu2/x D'où la déformation au niveau de l'acier: es=ecu.x/(d-x)

EQUILIBRE DES FORCES

Nb= Fcd.0,8.x.b et Nst=fyd.Ast ( en supposant que l'acier est suffisement bien utilisé pour se plastifier)

Fcd.0,8.x.b=fyd.Ast

EQUILIBRE DES MOMENTS

en considérant l'équilibre des moments au niveau de l'acier:

Mu=(d-0,4.x).Nb
Mu=(d-0,4.x).Fcd.0,8.x.b
(d-0,4.x).x=Mu/(0,8.b.Fcd)
Pour plus de lisibilité du calcul posons x=a.d
alors,
(d-0,4.a.d).a.d=Mu/(0,8.b.Fcd)
a.(1-0,4.a)=Mu/(0,8.b.d².Fcd)
De même, posons m=Mu/(0,8.b.d².Fcd)
-0,4.a²+a-m=0
La valeur de a peut être facilement déterminée par la résolution de cette équation du secon degré.

Remarque: Pour des raisons économiques l'acier doit être utilisé dans sa plage plastique. Cette condition peut être vérifié en observant que la déformation de l'acier est toujours supérieure à sa déformation de limite élastique: el>fyd/E (avec E=200000MPa).

Dans le cas contraire, il convient de redimensionner la section de béton ou d'ajouter des aciers dans la zone de compression de la section.

Les trois conditions étant établies leur combinaison permet de dimensionner les facteurs variables ou de vérifier les hypothèses de calcul.

DEFINITION DES VARIABLES: RESOLUTION DU SYSTEME DE TROIS EQUATIONS

POSITION DE LA FIBRE NEUTRE

Il découle de la condition d'équilibre des moments que x=a.d

VERIFICATION DES CONDITIONS DE TRAVAIL DE L'ACIER

es=ecu.x/(d-x) permet de déterminer la déformation limite de l'acier. Cela permet de vérifier si l'acier est dans sa plage ductile. D'après la loi de comportement de l'acier, celui-ci se plastifie dès que es atteint la valeur fyd/Es. Si es>fyd/Es l'acier s'est plastifié. Si l'acier travaille dans son domaine élastique les onditions d'équilibre ne sont pas économique. Il convient de redimensionner la section de béton pour une meilleur utilisation du matériau béton armé.

DIMENSIONNEMENT DE LA SECTION D'ACIER

L'équilibre des forces indique:

Fcd.0,8.x.b=fyd.Ast
la section d'acier nécessaire: Ast=Fcd.0,8.x.b/fyd

Dans le cas de l'utilisation d'un MODELE DE REPARTITION DES CONTRAINTES RECTANGLE POUR LE BETON ET INCLINE POUR L'ACIER,la trame de calcul est la même. La question de la valeur de la contrainte dans l'acier se pose aussi.
Pour déterminer la valeur de cette contrainte lorsque le modèle de comportement incliné de l'acier est utilisé, il faut déterminer de la même façon que précédemment la déformation de la section au niveau de l'acier afin de s'assurer en premier lieu que celui-ci s'est plastifié, puis que cette déformation plastique ne dépasse pas la limite de ductilité de l'acier utilisé. Une fois ces garanties vérifiées le modèle de comportement incliné de l'acier permet d'associer à cette déformation la valeur de la contrainte correspondante dans l'acier.

Comme précédemment, la section d'acier peut être alors déterminée pour ne pas dépasser cette contrainte

Ce calcul peut être développé de la même façon pour n'importe quelle forme de section.

Remarque: la non-fragilité du béton est à vérifier.