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PORTIQUE ISOSTATIQUE
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Supposons une structure isostatique comportant plus de trois réactions d'appuis. Cette situation se retrouve notamment dans le cas des portiques. L'objectif consiste à déterminer les réactions aux appuis afin de garantir la stabilité de la structure. Pour illustrer la problématique, imaginons un portique appuyé sur deux pivots en A et C, comportant un pivot interne en B et soumis à deux forces. |
METHODE D'ANALYSE |
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La modélisation mécanique de la structure permet d'identifier ici 4 réactions d'appuis d'intensité à déterminer. L'application du principe fondamental de la statique permet d'écrire trois équations d'équilibre (translations horizontales, verticales et rotations nulles). Mathématiquement il apparaît alors trois équations indépendantes comportant quatre inconnus. Il faut alors rechercher et modéliser des conditions supplémentaires. |
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Pour ce faire, il est a observer que la structure comporte une liaison interne en B. Il est possible de décomposer la structure en deux parties: AB et BC. En isolant la partie AB, il apparait un élément de structure lié ici par deux pivots: un en A et l'autre en B. |
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La modélisation mécanique de cet élément laisse apparaître deux nouvelles réactions de liaison en B. Au total, il y a maintenant 6 réactions à déterminer réparties en A, B et C. La mise en équation des conditions d'équilibre de cet élément de structure permet d'obtenir trois nouvelles conditions d'équilibre (translations horizontales, verticales et rotations nulles). Au total il y a alors 6 équations d'équilibre indépendantes comportant 6 inconnus de liaisons. Mathématiquement, ce système d'équation peut être résolu. |
EN SOMME
Le principe fondamentale de la statique est appliquer sur la structure. Lorsque le nombre de réaction d'appuis est supérieur au nombre d'équations d'équilibre, la structure est décomposée en éléments.
Le principe fondamental de la statique est appliqué aux éléments de structure pour obtenir des conditions supplémentaires.
Ce découpage est effectué jusqu'à définir autant de conditions d'équilibre que de réactions de liaison à déterminer.
Pour que cela soit possible, il est impératif que la structure soit isostatique.
APPLICATION
Dans le cas considéré la mise en équation des conditions d'équilibre appliqué à la structure donne:
/x (1) Rax-Rcx-50=0
/y (2) Ray+Rcy-90=0
Mt/A (3) 9.2xRcy+4.7x50-7.2x90=0
L'équation (3) donne: Rcy=44.9kN
(2)=> Ray=45.1kN
L'équation (1) ne permet pas à elle seule de déterminer Rax et Rcx. Il faut définir des conditions d'équilibre supplémentaires. En isolant la partie AB pour en définir l'équilibre, trois nouvelles équations apparaîssent:
/x (4) Rax-Rbx=0 => Rax=Rbx /y (5) Ray+Rby=0 =>Rby=-Ray=-45.1 Mt/A (6) 4.6xRby+6.9xRbx=0 (6)=> 6.9xRbx=207.46 => Rbx=30.1kN (4)=>RAx=30.1kN (1)=>30.1-Rcx-50=0 (1)=> Rcx=-19.9kN Le signe - indique que la réaction à été placé dans le sens inverse de ce qu'elle est réellement. Le sens de Rcx défini lors de la modélisation est à inverser. |
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