Les forces sont un phénomène qui modifie le comportement de la matière en terme de mouvement. Elles n’ont pas de forme. Dans la perspective de résoudre les problèmes de mécanique, la première étape consiste à donner une forme à l’invisible. Cette forme doit traduire l’effet des forces sur le comportement des matériaux : c’est le modèle de comportement des forces ou modélisation des forces.

Une force modifie le mouvement de la matière en impulsant une translation. Le modèle doit rendre compte des paramètres modifiés et de l’intensité avec laquelle ils sont modifiés ou nécessaire à les modifier.

Il est aussi apparu que si la matière est contrainte (notion de force), l’effet de translation impulsé se transforme en rotation autour d’un axe. Le modèle doit aussi rendre compte de cette éventualité.

LE MODELE GRAPHIQUE GLOBAL

La force agit sur la matière. Il apparait un point d’application de la force sur la matière. Le mouvement de translation qu’elle impulse sur la matière est caractérisé une direction du mouvement, un sens et l’intensité du phénomène.

Graphiquement l’ensemble de ces informations apparaissent sur la flèche du modèle vectoriel:

La force est représentée par les facteurs de modification du mouvement : la direction dans laquelle elle oriente le mouvement de la matière, le sens et avec quelle intensité elle fait varier la vitesse de la matière.	Pour les forces de contact, le point d’application est représenté par le point de contact avec la matière. Pour les forces à distance le point d’application représente le point ou l’effet de la force se fait ressentir.

La force est désignée par une lettre, communément: F

DIRECTION ET SENS

Ils sont représentés schématiquement. C’est très visuel pour se représenter le phénomène. Dans l’objectif de gérer les effets d’une combinaison de force sur la matière, cela nécessite une étude graphique qui atteint vite ses limites.

Le besoin d’un modèle numérique se fait vite ressentir. Nous pouvons observer à ce stade qu’il faut parler de modèles au pluriel.

INTENSITE DE LA FORCE

Avec qu’elle intensité une force est-elle capable de modifier la vitesse du mouvement de la matière?

Toute matière a une masse. Plus la masse est importante et plus il est difficile de modifier son mouvement. De même l’intensité de la variation de la vitesse est directement lié à l’intensité du phénomène : de la force. La capacité d’une force à modifier de façon plus ou moins intense le mouvement de la matière dépend donc directement de la masse de la matière sur laquelle elle s’applique et de l’importance de la variation de vitesse produite. Pour quantifier cela, l’intensité d’une force se réfère à l’intensité nécessaire pour faire varier la vitesse d’une masse de 1 kg de 1m/s à chaque seconde qu’elle s’applique. Autrement dit c’est l’intensité nécessaire pour accélérer ou décélérer une masse de 1 kg d’1m/s². L’unité est alors le kg.m/s². Cette unité est condensée par une unité de force : le Newton, noté : N

1N représente l’intensité d’une force capable de faire varier la vitesse d’1m/s d’une masse de 1kg durant chaque seconde d’application de cette force.

L’intensité en Newton, d’une force notée F s’exprime :

F=m.a

Avec m, la masse en kg et a, l’accélération produite en m/s²

Une force de 10N exercée sur un objet de 5kg accroit ou décroit sa vitesse de 2m/s chaque seconde (2m/s²)

Le poids, P représente l’exercice de la force de gravité sur la matière. La particularité de ce phénomène est qu’il accélère toute matière de la même façon : 9.81m/s² (sous nos latitudes). Comme la masse des matériaux est infiniment variable, cela signifie que le poids est une force d’intensité variable.

L’accélération générée par la gravité est notée g. En génie civil, la valeur de g est arrondie à 10m/s²

P=m.g

Un élément de structure de 3t (3000kg) subit une force de gravité ou a un poids : P=3000.10=30000N, soit P=30kN

Sous l’effet de la gravité cet élément de structure accélère en chute libre à l’approximation près de 10 m/s²

Cet élément subit en permanence la force de gravité terrestre. Cela signifie que si l’on veut obtenir un état d’équilibre, c’est-à-dire sans changement de vitesse de l’élément, il faut exercer en permanence une force produisant l’effet contraire…

LE POINT D’APPLICATION

Le modèle défini représente une force qui agit sur la matière en un seul point. Mais en réalité une force peut s’appliquer sur une ligne de matière ou une surface. Elle peut aussi agir à distance sur un volume de matière (le poids). Comment rendre compte de ces possibilités par un modèle?

Il y a deux façons de faire :
Chacune de ces dimensions géométriques peut être considérée comme un ensemble de points. En effet une ligne peut être considérée comme un ensemble de points côte à côte, etc…

La première modélisation consiste à représenter la force par une association de forces qui s’appliquent par unité de géométrie. Ainsi une force linéique est une association de forces élémentaires d’une intensité exprimé en N/m, une force surfacique (communément appelée pression) est exprimée en N/m² et une force volumique en N/m3.

Une seconde modélisation, globalise l’effet de chaque force s’appliquant sur un élément de géométrie. Le tout est modélisé par une seule force résultante  qui s’applique en un seul point d’application. Ce modèle s’écarte de la réalité en terme de représentation, mais préserve par globalisation l’effet des forces élémentaires.

L’intensité de la force résultante est alors égale à la somme des intensités des forces élémentaires. Le point d’application est à ce stade de l’étude impossible à définir. En effet, ce point doit permettre de globaliser en préservant l’ensemble des effets de chaque force élémentaire. Pour l’effet de translation de la force la question ne se pose pas. Mais si la matière n’est pas libre, c’est-à-dire si les forces modifient sont mouvement selon une rotation, il faut que la résultante rende compte fidèlement de cet effet. Cela nécessite donc de connaitre avant la notion de moment d’une force.

Une autre condition est à observer pour que la rotation ait lieu :

	Si la direction de la force passe par le point de rotation, la force ne produit pas d’effet de rotation autour de A. Non seulement la contrainte de la matière en A bloque l’effet de translation de la force, mais empêche également qu’il se transforme en rotation. Le point A bloque aussi l’effet de rotation. Puisque la force s’exerce et qu’il n’y a aucune variation de mouvement cela signifie que nous sommes en présence d’un système de force en équilibre (Une force s’exerce en A). L’effet de rotation nécessite que la force soit excentrée par rapport au point de rotation. Cette distance d’excentrement notée d, est appelée bras de levier. Il apparait que la modification de la vitesse de rotation est d’autant plus élevée que l’intensité de la force est élevée, mais cette vitesse varie aussi d’autant plus que la distance d’excentrement est importante. L’intensité du moment dépend donc de l’intensité de la force et de son bras de levier. L’intensité du moment par rapport au point de rotation A, noté MF/A vaut : MF/A=dxF L’unité est le N.m
	L’ensemble des paramètres de l’effet de rotation pourrait être symbolisé par une flèche courbe. Mais il est préféré de représenter uniquement la force : Le moment est écrit littéralement.

Ce type de modélisation est intéressant si l’ensemble des forces étudiées sont coplanaires (s’exerce dans le même plan) ; Mais, les possibilités de direction et de sens des forces sont infinies. Leur représentation et la gestion devient vite difficile voir impossible.

VERS UNE NUMERISATION: DECOMPOSITION D’UNE FORCE

L’idée consiste alors à numériser les paramètres graphiques de la force: direction et sens.

Ceci devient possible par un paramétrage de la force dans une base. Les paramètres de la force sont décomposés dans ce repère et ordonnés.

DEFINITION D’UNE BASE ORTHONORMEE DIRECTE

De façon conventionnelle, la base comporte 3 axes de direction orthogonale pour couvrir l’ensemble des directions de l’espace. Ces axes sont désignés dans l’ordre : x, y et z. Chaque axe est repéré d’un sens. Cela permet d’affecter du signe + le sens des forces identique à celui du repère et du signe – les forces en sens contraire de ceux du repère. Cela ouvre la porte sur une gestion analytique des systèmes de forces. Enfin l’intensité de chaque force est repérée par rapport à la norme des axes. La convention peut être mémorisée en tendant les trois premiers doigts de la main droite. Les doigts indiquent alors les trois directions principales et pointent vers le sens positif de chacune de ces directions.

Les effets de rotation des moments des forces sont également repérés dans cette base chaque rotation est désignée autour de son axe de rotation (exemple : la composante des moments sur l’axe x correspond à la composante de rotation autour de l’axe x). Le sens rotation peut être affecté du signe positif ou négatif. La convention des sens positif peut être mémorisée en prenant la main droite. Le pouce tendu indique la direction que l’on considère. Le reste des doigts s’enroule selon le sens positif de la convention. L’intensité du moment est indiquée selon la norme de l’axe autour duquel il y a rotation. (exemple : un moment engendre une rotation auour de l’axe x avec une intensité de 5kn.m. L’intensité est reportée sur l’axe x).

LA FORCE

La force F est décomposée selon les trois directions principales. La décomposition peut se faire graphiquement.	Les composantes obtenues sont positionnée dans le repère (x,y,z). Cela revient à dire que le mouvement du solide est transformé selon l’effet de trois forces : Fx, Fy et Fz. Leur sens est identique au sens de référence du repère : ils sont ici positifs.

Analytiquement, la trigonométrie permet à partir des angles de déterminer les composantes des intensités :

Il est possible de connaître l'angle, a entre F et le plan (x,z). Cela permet de connaître la projection de F dans ce plan: Fxz=F.cosa et la composante Fy de F sur l'axe y: Fy=F.sina. La connaissance de l'angle q par exemple, permet de déterminer les composantes de F sur l'axe, x et l'axe z. Fx=Fxz.cosq=F.cosa.cosq et Fz=Fxz.sinq=F.cosa.sinq

De façon synthétique et conventionnelle la force décomposée peut s’écrire :

Toutes les information de direction, de sens et d'intensité sont ainsi numérisées.

LE MOMENT DE LA FORCE

Le principe est le même : il s’agit décomposer l’effet de rotation selon les trois directions principales de la base (x,y,z).
Plusieurs méthodes existent. Le plus simple consiste à définir les composantes de la force (Fig.1/2/3), puis de définir les bras de levier (dx, dy, dz) entre chaque composante de la force et le point de rotation, selon les directions principales de la base(x,y,z) (Fig.4). pour définir la composante de chaque moment autour de chaque axe principal de la base (x,y,z).

Fig.1	Fig.2	Fig.3	Fig.4

Chaque composante de moment est obtenue en identifiant les composantes de la force pouvant exercer un moment autour de l’axe considéré et en les associant. En valeur algébrique dans l’exemple suivant cela donne

Mx=Fy.dz+Fz.dy	My=-Fx.dz+Fz.dx	Mz=-Fx.dy-Fy.dx

Le signe donne l’information du sens de rotation.

Mathématiquement, nous pouvons identifier les résultantes du produit vectoriel (exprimées ici en valeur algébrique).
Le moment d’une force F qui s’applique en un point B par rapport à un point de rotation A s’exprime :

De façon synthétique et conventionnelle le moment décomposé de la force peut s’écrire :

	La modélisation dans l’espace génère un grand nombre d’informations lourdes à gérer. Une simplification peut être obtenue en observant que souvent un système est soumis à des actions mécaniques coplanaires. Les composantes selon la troisième dimension sont alors toutes nulles. Le modèle est simplifié en écrivant uniquement les informations dans un plan repéré dans la base (x,y)
	Les composantes sont déterminées directement par la trigonométrie avec: Fx=F.cosa Fy=F.sina La force est modélisée graphiquement par le biais de ses deux composantes. Si la force génère un moment celui-ci engendre une rotation autour de z.

L'intensité et le sens du moment peuvent être déterminés en utilisant le schéma.

La force F a été décomposée en deux forces, Fx et Fy qui vont engendrer en se combinant, le même effet de rotation que F seul. Le moment de F correspond alors à l'ensemble du moment provoqué par Fx et Fy:

L'effet de rotation causé par Fx se combine à l'effet de rotation causé par Fy pour engendrer l'effet de rotation global causé par F.

L'intensité du moment engendré par Fx et Fy est déterminée en identifiant les bras de levier sur le schéma.

Le sens de rotation du moment engendré par Fx puis Fy est déterminé intuitivement en utilisant le schéma.

Ici, Fx n'a pas de bras de levier car cette force s'exerce dans l'axe AB: Fx ne peut pas engendrer de rotation autour de A.
Fy engendre une rotation positive autour de A selon un bras de levier de longueur dy.

Il apparaît aisément que sous l'effet de la force Fy, la structure tourne autour de A dans le sens positif de la base (x,y,z).
Ainsi: Mx=My=0 et Mz=Fx.0+Fy.dy

MODELE NUMERIQUE: LE TORSEUR

Les modèles graphiques sont totalement oubliés. Tous les paramètres de la force sont regroupés de façon synthétique. Ce modèle est appelé torseur.

Le torseur présente donc la force et son moment possible par rapport à un point de rotation. Les composantes sont présentées en colonne dont l’ordre d’écriture (x,y,z) indique de façon sous entendue la direction de chaque composante. Le sens des  composantes sont indiqués par le signe + ou – conventionnel. La force est indiquée en premier, suivi du moment autour du point de rotation considéré. Au choix, la force et son moment peuvent être encadrées de parenthèses ou non. Toute les informations sont présentes de façon codée et synthétique. Ce modèle d’une force comporte 6 informations principales de translation et de rotation ainsi que le point possible de rotation considéré.

Nous observons que l’effet du moment implique une relation entre la force et le point où la structure pourrait éventuellement être contrainte. L’idée de ce type de modélisation consiste à modéliser les effets des forces de façon isolée, c’est-à-dire indépendamment de leur relation avec la structure et de ces éventuelles contraintes. Il s’agit d’un modèle mathématique totalement abstrait, de formalisation pure. Les points de contraintes de rotation seront définis avec la modélisation de la structure.

Dans une telle logique, le moment de la force est alors toujours modélisé par rapport à un point de rotation arbitraire au cas où la structure y apparaitrait contrainte. Pour gérer les effets des forces, il faudra comparer leurs effets. En terme de rotation cela signifie qu’il faudra comparer les effets de rotation des forces autour du même point. Il faudra alors redéfinir le moment de la force autour de ce point commun. Nous parlerons alors de transfert du torseur d’un point à un autre. Cette étude n’est pas menée ici.

Où définir le moment de la force? Le plus simple consiste à modéliser la force par un torseur au point de rotation correspondant au point d’application de la force. Le torseur s’en trouve simplifié puisque qu’il n’y a pas d’excentrement entre le point d’application de la force et ce point de rotation. Les composantes du moment sont donc toutes nulles : trois informations sont nulles.

SYNTHESE

Il existe des façons graphiques, analytiques et numériques pour modéliser les possibilités de comportement d’une force.

Compte tenu du grand nombre d’informations à gérer les modèles analytiques et numériques se construisent par décomposition de l’information dans une base (x,y,z). L’effet de translation de la force est décomposé selon trois directions, puis en associant ces composantes aux bras de levier par rapport à un point de rotation les moments décomposés sont déduits.